Python素數檢測的方法

 　　這篇文章主要介紹了Python素數檢測的方法,實例分析了Python素數檢測的相關技巧,需要的朋友可以參考下

　　本文實例講述了Python素數檢測的方法。分享給大家供大家參考。具體如下：

　　因子檢測：

　　檢測因子，時間復雜度O(n^(1/2))

　　?

1 2 3 4 5 6 7 def is_prime(n): if n < 2: return False for i in xrange(2, int(n**0.5+1)): if n%i == 0: return False return True

　　費馬小定理：

　　如果n是一個素數，a是小於n的任意正整數，那麼a的n次方與a模n同余

　　實現方法：

　　選擇一個底數(例如2)，對於大整數p，如果2^(p-1)與1不是模p同余數，則p一定不是素數;否則，則p很可能是一個素數

　　2**(n-1)%n 不是一個容易計算的數字

　　模運算規則：

　　?

1 2 (a^b) % p = ((a % p)^b) % p (a * b) % p = (a % p * b % p) % p

　　計算X^N(% P)

　　可以

　　如果N是偶數，那麼X^N =(X*X)^[N/2];

　　如果N是奇數，那麼X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];

　　?

1 2 3 4 5 6 7 def xn_mod_p(x, n, p): if n == 0: return 1 res = xn_mod_p((x*x)%p, n>>1, p) if n&1 != 0: res = (res*x)%p return res

　　也可以歸納為下面的算法 兩個函數是一樣的

　　?

1 2 3 4 5 6 7 8 def xn_mod_p2(x, n, p): res = 1 n_bin = bin(n)[2:] for i in range(0, len(n_bin)): res = res**2 % p if n_bin[i] == '1': res = res * x % p return res

　　有了模冪運算快速處理就可以實現費馬檢測

　　費馬測試當給出否定結論時，是准確的，但是肯定結論有可能是錯誤的，對於大整數的效率很高，並且誤判率隨著整數的增大而降低

　　?

1 2 3 4 5 6 7 def fermat_test_prime(n): if n == 1: return False if n == 2: return True res = xn_mod_p(2, n-1, n) return res == 1

　　MILLER-RABIN檢測

　　Miller-Rabin檢測是目前應用比較廣泛的一種

　　二次探測定理:如果p是一個素數,且0

　　費馬小定理：a^(p-1) ≡ 1(mod p)

　　這就是Miller-Rabin素性測試的方法。不斷地提取指數n-1中的因子2，把n-1表示成d*2^r(其中d是一個奇數)。那麼我們需要計算的東西就變成了a的d*2^r次方除以n的余數。於是，a^(d * 2^(r-1))要麼等於1，要麼等於n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等於1，定理繼續適用於a^(d * 2^(r-2))，這樣不斷開方開下去，直到對於某個i滿足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最後指數中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。這樣，Fermat小定理加強為如下形式：

　　盡可能提取因子2，把n-1表示成d*2^r，如果n是一個素數，那麼或者a^d mod n=1，或者存在某個i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i

　　定理:若n是素數,a是小於n的正整數,則n對以a為基的Miller測試,結果為真.

　　Miller測試進行k次,將合數當成素數處理的錯誤概率最多不會超過4^(-k)

　　?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 def miller_rabin_witness(a, p): if p == 1: return False if p == 2: return True #p-1 = u*2^t 求解 u, t n = p - 1 t = int(math.floor(math.log(n, 2))) u = 1 while t > 0: u = n / 2**t if n % 2**t == 0 and u % 2 == 1: break t = t - 1 b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p) for i in range(1, t + 1): b2 = b1**2 % p if b2 == 1 and b1 != 1 and b1 != (p - 1): return False b1 = b2 if b1 != 1: return False return True def prime_test_miller_rabin(p, k): while k > 0: a = randint(1, p - 1) if not miller_rabin_witness(a, p): return False k = k - 1 return True

　　希望本文所述對大家的Python程序設計有所幫助。