階乘相關的算法及其C++實現

       有關階乘的算法，不外乎兩個方面：一是高精度計算；二是與數論相關。

　　一、 高精度計算階乘

　　這實際上是最沒有技術含量的問題，但是又會經常用到，所以還是得編寫，優化它的計算。

　　首先看小於等於12的階乘計算（計算結果不會超出32位范圍）：

　　int factorial（int n） {

　　if （n == 1 || n == 0）

　　return 1;

　　return factorial（n-1）*n;

　　}

　　這個遞歸程序簡單明了，非常直觀，然而一旦n > 12，則超過32位int型的范圍出現錯誤結果，所以上面這個遞歸程序僅適合n <= 12的階乘計算，為了計算較大n的階乘，需要將高精度乘法算法納入到階乘計算中來，高精度乘法過程可以如下簡單的描述：（其中A * B = C，A[0], B[0], C[0]分別存儲長度）

　　for （i = 1; i <= A[0]; i++）

　　for （j = 1; j <= B[0]; j++） {

　　C[i+j-1] += A[i]*B[j];      　　// 當前i+j-1位對應項 + A[i] * B[j]

　　C[i+j] += C[i+j-1]/10;     　　// 它的後一位 + 它的商（進位）

　　C[i+j-1] %= 10;              　　// 它再取余即可

　　}

　　C[0] = A[0] + B[0];

　　while （C[0] > 1 && C[C[0]] == 0） C[0]--;   // 去頭0，獲得實際C的長度

　　有了這個高精度乘法之後，計算階乘就可以簡單的迭代進行：

　　for （i = 2; i <= n; i++） {

　　將i轉換成字符數組；

　　執行高精度乘法：將上一次結果乘上i

　　}

　　二、 與數論有關

　　由於階乘到後面越來越大，巧妙的利用數論求得一些有趣的數字（數值）等成為階乘算法的設計點，下面給出幾道相關的問題與分析：

　　（1）   計算階乘末尾第一個非0數字：

　　這是一個比較經典的問題，比較復雜的算法是利用一個艱難的數學公式，可惜我不會，從網上的資料學習中，整理出下面這個簡單易懂的算法：

　　觀察n!，可以發現在乘的過程中，對於任意 n > 1，n!的末尾第一個非0數字都是偶數。我們只需保留最後一位非零數。當要乘的數中含有因數5時，我們可以把所有的因數5都當作8來乘。這是因為：

　　…x2*5=…10（捨）或…60，最後一位非零數為6。而恰好2*8=16，末位為6。

　　…x4*5=…70（捨）或…20，最後一位非零數為2。而恰好4*8=32，末位為2。

　　…x6*5=…30（捨）或…80，最後一位非零數為8。而恰好6*8=48，末位為8。

　　…x8*5=…90（捨）或…40，最後一位非零數為4。而恰好8*8=64，末位為4。

　　（對於n > 1時，最後一位不會出現 1, 7, 3, 9，而永遠是2, 4, 6, 8的循環出現）

　　因此，在迭代作乘法時，主要就是計算因子5的數量，同時可見因子5的個數以4為循環節（即只需要取它的數量對4取模）。那麼對於不同情況下的因子5的數量，可以通過res[5][4] = {{0,0,0,0}, {2,6,8,4}, {4,2,6,8}, {6,8,4,2}, {8,4,2,6}}來得到，使用nonzero[i]表示i的階乘的最後一位，那麼：

　　如果t是偶數，則直接乘：nonzero[i] = （nonzero[i-1]*t）%10。

　　否則nonzero[i] = res[（（nonzero[i-1]*t）%10）/2][five];

　　其中t是除掉所有因子5的結果，five為因子5數量對4的模。

　　（2）。 階乘末尾有多少個0

　　分析發現，實際上形成末尾0，就是因子5的數量，而計算1~n之間包含一個因子i的個數的簡單算法就是：

　　cnt = 0; while （n） { n /= i; cnt += n; }

　　因此，直接將i換成5，就可以得到因子5的數量，也即n!末尾0的數量。

　　（3）。 返回階乘左邊的第二個數字

　　簡單算法：用實數乘，超過100就除以10，最後取個位即可。因為整數部分的個位就是階乘結果左邊的第二個數字。相關題目：

　　（4）。 判斷數值 m 是否可以整除 n!

　　算法：使用素因子判斷法

　　A. 首先直接輸出兩種特殊情況：

　　m == 0 則 0肯定不會整除n!；

　　n >= m 則 m肯定可以整除n!;

　　B. 那麼就只剩最後一種情況：m > n，我們從m的最小素因子取起，設素因子為i那麼可以 　　求得m的素因子i的個數 nums1；再檢查閉區間 i ~ n 之間的數，一共包含多少個素因子i，就可以簡單的利用上面（2）中所介紹的數學公式進行計算得到nums2。如果nums2 < nums1，就表示1 ~ n中包含素因子的數量 < 除數m包含素因子i的數量，那麼m必然不能整除n!，置ok = false。

　　C. 最後：如果 !ok or m > n or m == 0 則不能整除；否則可以整除

　　（5）。數字N能否表示成若干個不相同的階乘的和：

　　這裡可以選擇的階乘為：0! ~ 9!，實際上這一題與數論無關，與搜索有關。

　　分析，由於可供選擇的階乘數量較少，直接可以利用DFS搜索來做：

　　A. 首先將0 ~ 9的階乘作一個表A[10]；再設置一個可以組成“和”的數組ans[N]。

　　B. 深度優先搜索方法：

　　search（n） {

　　for（i = n; i <= 9; i++） {

　　sum += A[i];    　　//求和

　　如果sum在ans數組中不存在，則將sum插入到ans[]數組中

　　search（n+1）；

　　sum -= A[i];     　　//回溯

　　}

　　}

　　C. 最後對於輸入n，就在ans數組中查找是否存在n，如果存在，則表示n可以表示成不同的階乘和，否則不行。