對C語言中遞歸算法的深入解析

   C通過運行時堆棧支持遞歸函數的實現。遞歸函數就是直接或間接調用自身的函數。
     許多教科書都把計算機階乘和菲波那契數列用來說明遞歸，非常不幸我們可愛的著名的老潭老師的《C語言程序設計》一書中就是從階乘的計算開始的函數遞歸。導 致讀過這本經書的同學們，看到階乘計算第一個想法就是遞歸。但是在階乘的計算裡，遞歸並沒有提供任何優越之處。在菲波那契數列中，它的效率更是低的非常恐 怖。

     這裡有一個簡單的程序，可用於說明遞歸。程序的目的是把一個整數從二進制形式轉換為可打印的字符形式。例如：給出一個值4267，我們需要依次產生字符‘4’，‘2’，‘6’，和‘7’。就如在printf函數中使用了%d格式碼，它就會執行類似處理。

     我們采用的策略是把這個值反復除以10，並打印各個余數。例如，4267除10的余數是7，但是我們不能直接打印這個余數。我們需要打印的是機器字符集中 表示數字‘7’的值。在ASCII碼中，字符‘7’的值是55，所以我們需要在余數上加上48來獲得正確的字符，但是，使用字符常量而不是整型常量可以提 高程序的可移植性。‘0’的ASCII碼是48，所以我們用余數加上‘0’，所以有下面的關系：

          ‘0’+ 0 =‘0’
          ‘0’+ 1 =‘1’
          ‘0’+ 2 =‘2’
      　　　    ...

　　從這些關系中，我們很容易看出在余數上加上‘0’就可以產生對應字符的代碼。接著就打印出余數。下一步再取商的值，4267/10等於426。然後用這個值重復上述步驟。

　　這種處理方法存在的唯一問題是它產生的數字次序正好相反，它們是逆向打印的。所以在我們的程序中使用遞歸來修正這個問題。

　　我們這個程序中的函數是遞歸性質的,因為它包含了一個對自身的調用。乍一看，函數似乎永遠不會終止。當函數調用時，它將調用自身，第2次調用還將調用自身，以此類推，似乎永遠調用下去。這也是我們在剛接觸遞歸時最想不明白的事情。但是，事實上並不會出現這種情況。

　　這個程序的遞歸實現了某種類型的螺旋狀while循環。while循環在循環體每次執行時必須取得某種進展，逐步迫近循環終止條件。遞歸函數也是如此，它在每次遞歸調用後必須越來越接近某種限制條件。當遞歸函數符合這個限制條件時，它便不在調用自身。

在程序中，遞歸函數的限制條件就是變量quotient為零。在每次遞歸調用之前，我們都把quotient除以10，所以每遞歸調用一次，它的值就越來越接近零。當它最終變成零時，遞歸便告終止。

/*接受一個整型值（無符號0，把它轉換為字符並打印它，前導零被刪除*/

#include <stdio.h>

int binary_to_ascii( unsigned int value)
{
          unsigned int quotient;
    
   　　quotient = value / 10;
   　　if( quotient != 0)
       　　　　binary_to_ascii( quotient);
   　　putchar ( value % 10 + '0' );
}

遞歸是如何幫助我們以正確的順序打印這些字符呢？下面是這個函數的工作流程。
       1. 將參數值除以10
       2. 如果quotient的值為非零，調用binary-to-ascii打印quotient當前值的各位數字

　　3. 接著，打印步驟1中除法運算的余數

　　注意在第2個步驟中，我們需要打印的是quotient當前值的各位數字。我們所面臨的問題和最初的問題完全相同，只是變量quotient的 值變小了。我們用剛剛編寫的函數（把整數轉換為各個數字字符並打印出來）來解決這個問題。由於quotient的值越來越小，所以遞歸最終會終止。

　　一旦你理解了遞歸，閱讀遞歸函數最容易的方法不是糾纏於它的執行過程，而是相信遞歸函數會順利完成它的任務。如果你的每個步驟正確無誤，你的限制條件設置正確，並且每次調用之後更接近限制條件，遞歸函數總是能正確的完成任務。

　　但是，為了理解遞歸的工作原理，你需要追蹤遞歸調用的執行過程，所以讓我們來進行這項工作。追蹤一個遞歸函數的執行過程的關鍵是理解函數中所聲 明的變量是如何存儲的。當函數被調用時，它的變量的空間是創建於運行時堆棧上的。以前調用的函數的變量扔保留在堆棧上，但他們被新函數的變量所掩蓋，因此 是不能被訪問的。

　　當遞歸函數調用自身時，情況於是如此。每進行一次新的調用，都將創建一批變量，他們將掩蓋遞歸函數前一次調用所創建的變量。當我追蹤一個遞歸函數的執行過程時，必須把分數不同次調用的變量區分開來，以避免混淆。

　　程序中的函數有兩個變量：參數value和局部變量quotient。下面的一些圖顯示了堆棧的狀態，當前可以訪問的變量位於棧頂。所有其他調用的變量飾以灰色的陰影，表示他們不能被當前正在執行的函數訪問。

假定我們以4267這個值調用遞歸函數。當函數剛開始執行時，堆棧的內容如下圖所示：
 

執行除法之後，堆棧的內容如下：

 
接著，if語句判斷出quotient的值非零，所以對該函數執行遞歸調用。當這個函數第二次被調用之初，堆棧的內容如下：
 

堆棧上創建了一批新的變量，隱藏了前面的那批變量，除非當前這次遞歸調用返回，否則他們是不能被訪問的。再次執行除法運算之後，堆棧的內容如下：
 

quotient的值現在為42，仍然非零，所以需要繼續執行遞歸調用，並再創建一批變量。在執行完這次調用的出發運算之後，堆棧的內容如下：
 

此時，quotient的值還是非零，仍然需要執行遞歸調用。在執行除法運算之後，堆棧的內容如下：
 

 

　　不算遞歸調用語句本身，到目前為止所執行的語句只是除法運算以及對quotient的值進行測試。由於遞歸調用這些語句重復執行，所以它的效果 類似循環：當quotient的值非零時，把它的值作為初始值重新開始循環。但是，遞歸調用將會保存一些信息（這點與循環不同），也就好是保存在堆棧中的 變量值。這些信息很快就會變得非常重要。

　　現在quotient的值變成了零，遞歸函數便不再調用自身，而是開始打印輸出。然後函數返回，並開始銷毀堆棧上的變量值。

每次調用putchar得到變量value的最後一個數字，方法是對value進行模10取余運算，其結果是一個0到9之間的整數。把它與字符常量‘0’相加，其結果便是對應於這個數字的ASCII字符，然後把這個字符打印出來。

   輸出4：

 

接著函數返回，它的變量從堆棧中銷毀。接著，遞歸函數的前一次調用重新繼續執行，她所使用的是自己的變量，他們現在位於堆棧的頂部。因為它的value值是42，所以調用putchar後打印出來的數字是2。

  輸出42：

 

接著遞歸函數的這次調用也返回，它的變量也被銷毀，此時位於堆棧頂部的是遞歸函數再前一次調用的變量。遞歸調用從這個位置繼續執行，這次打印的數字是6。在這次調用返回之前，堆棧的內容如下：

  輸出426：

 

現在我們已經展開了整個遞歸過程，並回到該函數最初的調用。這次調用打印出數字7，也就是它的value參數除10的余數。

  輸出4267：

 

然後，這個遞歸函數就徹底返回到其他函數調用它的地點。
如果你把打印出來的字符一個接一個排在一起，出現在打印機或屏幕上，你將看到正確的值：4267

漢諾塔問題遞歸算法分析：

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