無刀模檔案時，用「尺規作圖」幾何邏輯在 Illustrator 中精確推導紙杯展開扇形。掌握此法，任意規格紙杯（上口徑、下底徑、高度）皆可精準繪製，適用於包裝結構設計、打樣輸出。

幾何原理

紙杯展開圖為一個「扇形環」。已知：上底徑 R、下底徑 r、高度 h。求：大扇形半徑 R'、小扇形半徑 r'、扇形中心角 θ。

相似三角形關係：R' / R = r' / r = (R' - r') / h → 解得 R' = R·h / (R - r)，r' = r·h / (R - r)。
中心角 θ = (R / R') × 360° = (R - r) / h × 360°。

AI 實作步驟

1. 畫三條水平線（上口徑、下底徑、高度），垂直居中對齊，形成「工」字架構。
2. 延長垂直線，連接上下底徑端點，延長交垂直線於點 O（扇形圓心）。
3. 剪刀工具在交點剪開，刪除多餘路徑，得兩條生成線。
4. 刪除垂直線，重繪連接圓心 O 與下底徑端點的線段。
5. 旋轉工具以 O 為中心，旋轉兩生成線至水平，得大/小半徑基準線。
6. 以兩基準線為半徑，O 為圓心畫兩正圓（大/小弧）。
7. 計算 θ = (上口徑 / 大圓直徑) × 360°，旋轉複製長生成線得第二條邊界線。
8. 選中兩線兩圓，路徑查找器 → 分割，刪除多餘扇形。
9. 旋轉扇形至水平，得標準展開圖。可再偏移路徑加出血。

圖案排版技巧

• 杯身圖案繪製於矩形版面，完成後用「封套扭曲 → 以頂層物件建立」映射至扇形。
• 或：複製扇形弧段，偏移路徑得平行弧，對弧套用「藝術筆刷/圖案筆刷」繪製環繞圖案。
• 文字沿徑排版：文字 → 文字沿路徑排版，點擊弧線輸入。

驗證與輸出

• 列印 1:1 剪貼組裝，檢查口徑/高度/重疊膠帶寬度。
• 匯出 DXF/DWG 供打樣機/刀模設計軟體使用。
• 建立「紙杯參數化模板」：用動作/腳本記錄步驟，輸入 R/r/h 一鍵生成。

幾何構圖法不依賴試誤，保證結構精準，是包裝結構設計師的必備基本功。