高斯模糊是圖像處理、計算機視覺、深度學習預處理中最基礎也最關鍵的數據平滑算法。本文從數學原理出發，推導二維高斯函數、構建離散權重矩陣、演示像素級計算流程，並討論邊界處理策略，為理解濾鏡底層邏輯、編寫自定義濾鏡/Shader 提供理論基石。

一、模糊的本質：鄰域加權平均

「模糊」在數值層面即平滑化：每個像素新值 = 鄰域像素加權平均。若採用簡單平均（盒子濾波），權重均等，會產生方塊狀伪影。自然界光學擴散呈現鐘形分佈：中心權重最大，隨距離呈指數衰減，這正是正態分佈（高斯分佈）的特性。

二、正態分佈權重：從一維到二維

1. 一維高斯函數

$$G(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

• $\mu$：均值，中心點設為原點 $\Rightarrow \mu=0$。
• $\sigma$：標準差，控制模糊半徑/擴散程度。$\sigma$ 越大，曲線越平緩，模糊越強。

2. 二維高斯函數（各向同性）

利用獨立性：$G(x,y) = G(x) \cdot G(y)$

$$G(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$$

等高線為同心圓，中心峰值最高，四周漸弱。

三、離散權重矩陣構建（核 Kernel 生成）

1. 確定核半徑：通常取 $r = \lceil 3\sigma \rceil$（覆蓋 99.7% 概率質量）。$\sigma=1.5 \Rightarrow r=5$（11×11 核）；實時渲染常用 $r=1$（3×3）或 $r=2$（5×5）近似。
2. 計算離散坐標權重：以中心 (0,0) 為原點，遍歷 $[-r, r] \times [-r, r]$ 整數坐標，代入二維高斯函數得原始權重 $w_{ij}$。
   
3. 歸一化：$\sum w_{ij} = 1$。將所有 $w_{ij}$ 除以總和 $W$。
   例：$\sigma=1.5, r=1$ (3×3 核) 原始權重和 = 0.4787147 → 歸一化後矩陣：
   

四、卷積計算流程

1. 對每個像素 $(x,y)$，以其為中心覆蓋核矩陣。
2. 核內每個鄰域像素值 $P_{ij}$ 乘以對應歸一化權重 $w_{ij}$。
3. 加權和 $\sum P_{ij} w_{ij}$ 作為輸出像素值。
   演示（灰度 0-255）：
   
4. 彩色圖像：對 R/G/B 三通道獨立卷積，或轉 YCbCr 僅模糊 Y 通道保色彩銳度。

五、邊界處理策略

邊緣像素鄰域不完整，主流策略：

• 複製邊緣：將邊緣像素值向外延展填充虛擬鄰域（最常用，OpenCV `BORDER_REPLICATE`）。
• 鏡像反射：以邊緣為軸鏡像複製（`BORDER_REFLECT`），減少邊緣伪影。
• 常數填充：填 0 或指定顏色（`BORDER_CONSTANT`），適合透明背景合成。
• 循環/周期性：對面邊緣對應像素填充（`BORDER_WRAP`），適用於無縫紋理。

PS/GPU 實現常採用分離式卷積：二維高斯核可分解為兩次一維卷積（先橫向後縱向），複雜度從 $O(n^2)$ 降為 $O(2n)$，大幅提速。

六、工程落地要點

• 定點數優化：移動端/嵌入式無 FPU 時，權重乘以 256/1024 轉整數，卷積後右移位還原。
• 近似算法：多次盒子濾波疊加逼近高斯（3 次盒濾 ≈ 高斯），無需指數運算。
• 可分離性驗證：確保核矩陣秩為 1（SVD 分解奇異值僅首個非零），才能安全分離卷積。
• Sigma 與半徑映射表：預計算常用 $\sigma$ 對應核矩陣存入查找表，避免運行時 `exp()` 開銷。

七、參考文獻

• Gonzalez & Woods, Digital Image Processing, Ch.3 Spatial Filtering.
• Intel IPP / OpenCV `GaussianBlur` 實現源碼。
• “How to program a Gaussian Blur without using 3rd party libraries” (StackOverflow/Shadertoy 社區實現)。